Mathe

Die elementaren Zahlenmengen

In der Mathematik gibt es (unter anderen) folgende unendlich große Zahlen-Mengen (Mengen mit unendlich vielen Elementen):

: die natürlichen Zahlen

Es gibt für jeden, der zählen kann, die natürlichen Zahlen. Die einfachen natürlichen Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 5 usw. Aber man kann ja die 0 (die Null) auch einmal dazunehmen. Dann haben wir die Menge mit den Elementen: 0, 1, 2, 3, 4 usw. - das sind jetzt die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen (abgekürzt: ℕ0).

ℤ: die ganzen Zahlen

Es gibt außer den natürlichen Zahlen eine nächstgrößere Menge: die Menge der ganzen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind diese: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4 usw.

ℚ: die rationalen Zahlen

Es gibt außer den ganzen Zahlen noch viel mehr: es gibt die so genannten rationalen Zahlen. Das sind zuzüglich zu den schon genannten alle die Zahlen, die Du auch als Bruch von 2 ganzen Zahlen schreiben kannst. Aber jeden Bruch kann man auch als "Dezimalbruch" schreiben! So heißt das. (Ein Dezimalbruch ist dies: 0,16. Eine Erklärung folgt hier.)

Jetzt mal ein einfaches Beispiel: 1/5 ist ein bekannter Bruch. Heraus kommt 0,2 - in den handelsüblichen Taschenrechnern steht dann 0.2 (mit Punkt und nicht mit Komma geschrieben!).

Ein zweites Beispiel ist ein Neuntel. Ja, bei einem Neuntel ist es ein wenig komplizierter: 1/9. Tipp mal 1/9 in Deinen Taschenrechner! Du bekommst vielleicht 0.11111111 heraus. Das ist mathematisch genauer ausgedrückt: 0,1. Aber was ist denn darunter zu verstehen? Es bedeutet Null Komma Eins Eins Eins Eins Eins und so weiter (immer eins). Man liest: "Null Komma Periode Eins" und meint damit unendlich viele Einsen hinter dem Komma!

Ein weiteres Beispiel: 1/6 ist auch ein Bruch. Aber zum Erstaunen mancher Menschen ist es diesmal noch ein wenig komplizierter: Wenn man in einen Taschenrechner 1 durch 6 eintippt, dann bekommt man so ungefähr 0,166666667 heraus. Der Taschenrechner ist aber gezwungenermaßen ungenau! Ganz genau aufgeschrieben oder gesagt muss 1 durch 6 sein: "0 Komma 1 Periode 6". Wie schreibt man das? So: 0,16. Das ist anders ausgedrückt eine Null, ein Komma, eine 1 hinter dem Komma und dahinter nur noch ganz viele Sechsen! Genau genommen unendlich viele Sechsen. Weil man diese Zahl (1/6) auch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann (1/6), gehört sie zu den rationalen Zahlen.

Ein nächstes Beispiel für eine rationale Zahl: 1 durch 7. Im Taschenrechner kommt als Ergebnis etwa: 0,1428571. Richtig geschrieben heißt das so: 0,142857. Ins Unendliche getrieben schreibt man: 0,142857 142857 142857 142857 usw. Sprich bitte: "Null Komma Periode eins vier zwei acht fünf sieben".

Ein vorletztes Beispiel für die rationalen Zahlen ist hier 1 durch 11. Im Taschenrechner eingegeben kommt etwa 0.09091 heraus. Das ist aber wieder ungenau. Man kann das nämlich ganz genau ausdrücken und schreiben: 0.09. "Null Komma Periode null neun".

Ein letztes Beispiel ist der schöne Dezimalbruch 0,083. Das ist 1/12. Wie muss man das sprechen? "Null Komma null acht Periode drei".

ℝ: die reellen Zahlen

Und es gibt noch viel mehr Zahlen. Sie heißen "reelle Zahlen". Das sind zuzüglich zu den schon genannten Zahlen solche, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen beschreibbar sind. Zum Beispiel WURZEL(2) - so in Excel - oder PI() - so auch in Excel; der griechische Buchstabe für PI ist: π. π ist 3,1415926...... und immer weiter, und zwar unendlich lange ... - man kann es nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben.

ℂ: die komplexen Zahlen

Das wollte ich eigentlich auslassen. Wenn Du noch Lust hast weiter zu forschen, bitte:

Die komplexen Zahlen sind noch eine Erweiterung der Zahlenmengen. Wir machen jetzt etwas Un-Mathematisches: Stell Dir vor, Du könntest Wurzel aus minus 1 aus­rechnen ... Schon sind wir bei den komplexen Zahlen. Oder allgemeiner: Du könntest die Wurzel aus negativen reellen Zahlen berechnen.


Frage

Eine Frage für Euch: Ist die 1 (die Eins) Element der Menge (rationale Zahlen)? Wer weiß das zu beantworten?

Erst überlegen, dann: Weiter >>