Mathe

Die elementaren Zahlenmengen

Hier steht am Anfang dieser Unterseite eine Vermutung: Ich vermute, dass Gott die ganze Mathematik geschaffen hat.

Wer Lust hat, gleich mal auf Wikipedia über Mengenlehre zu schauen, bitte!

In der Mathematik gibt es (unter anderen) folgende unendlich große Zahlen-Mengen (Mengen mit unendlich vielen Elementen): Natürliche Zahlen, ganze Zahlen, rationale Zahlen, reelle Zahlen und - hier nur gestreift: komplexe Zahlen.

Wieso sind das unendlich viele, die natürlichen Zahlen? Weil hinter 999 Dezilliarden immer noch was kommt (Dezilliarden sind viel mehr als Millionen, Milliarden, Billionen und Billiarden). Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich.

Jetzt kommen die elementaren Zahlenmengen:

: die natürlichen Zahlen

Die natürlichen Zahlen sind für alle, die zählen müssen, wie geschaffen! - Die einfachen natürlichen Zahlen sind: 1; 2; 3; 4; 5 usw. Wenn Du, wie oben gesagt, etwas abzählen musst, ist das genau das Richtige! Die natürlichen Zahlen haben bestimmt kein Komma.

Man kann ja die 0 (die Null) auch einmal dazunehmen. Dann haben wir die Menge mit den Elementen: 0; 1; 2; 3; 4; 5 usw. - das sind jetzt die natürlichen Zahlen, die Null eingeschlossen (abgekürzt: ℕ0).

Der Zahlenstrahl der natürlichen Zahlen geht in nur eine Richtung:

Nun ein Satz zum Weiterdenken: Eine interessante Teilmenge der Menge der natürlichen Zahlen ist die Menge der Primzahlen.

ℤ: die ganzen Zahlen

Es gibt außer den natürlichen Zahlen eine nächstgrößere Menge. Die ganzen Zahlen haben auch kein Komma, genauso wie die natürlichen Zahlen. Die ganzen Zahlen sind diese: .... -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5 usw.

Der Zahlenstrahl der ganzen Zahlen geht in beide Richtungen:

ℚ: die rationalen Zahlen

Es gibt außer den ganzen Zahlen noch viel mehr: es gibt die so genannten rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen liegen zwischen den ganzen Zahlen. Das sind Zahlen mit einem Komma, jedenfalls können sie ein "Dezimalkomma" haben. Das sind also zuzüglich zu den schon genannten alle die Zahlen, die Du auch als Bruch von 2 ganzen Zahlen schreiben kannst:

Aber: Jeden Bruch kann man auch als "Dezimalbruch" schreiben! So heißt das. Ein Dezimalbruch ist dies: 0,16. Lies: "Null Komma Eins Periode Sechs". Was das ist? Lies bitte diesen Text hier weiter, wenn Du eine einfache Auflösung dieses Rätsels haben möchtest! (Eine Wikipedia-Erklärung folgt hier.) Man könnte sagen: Die gebrochenen rationalen Zahlen können Zahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen sein. Ja? Stimmt das? Ja, das stimmt schon. Aber genauer gesagt: Die unendlich vielen Nachkommastellen sind periodisch.

Was ist "periodisch"? Das ist eine Folge von Nachkommastellen wie zum Beispiel "Periode 6". Lies einfach den weiteren Text.

Jetzt mal ein einfaches Beispiel: 1/5 ist ein bekannter Bruch. Heraus kommt 0,2 - in den handelsüblichen Taschenrechnern steht dann 0.2 (mit Punkt und nicht mit Komma geschrieben!).

Ein zweites Beispiel ist ein Neuntel. Ja, bei einem Neuntel ist es komplizierter: 1/9. Tipp mal 1/9 in Deinen Taschenrechner! Du bekommst vielleicht 0.11111111 heraus. Eigentlich ist so ein Taschenrechner ein wenig ungenau. Die Zahl 0.11111111 usw. ist mathematisch ganz genau ausgedrückt 0,1. Aber was ist denn darunter zu verstehen? Es bedeutet Null Komma Eins Eins Eins Eins Eins und so weiter (immer eins). Man liest: "Null Komma Periode Eins" und meint damit unendlich viele Einsen hinter dem Komma! Das ist "periodisch".

Ein weiteres Beispiel: 1/6 ist auch ein Bruch. Aber zum Erstaunen mancher Menschen ist es diesmal noch ein wenig komplizierter: Wenn man in einen Taschenrechner 1 durch 6 eintippt, dann bekommt man so ungefähr 0,166666667 heraus. Der Taschenrechner ist aber wieder ungenau. Ganz genau aufgeschrieben muss 1 durch 6 sein: "0 Komma 1 Periode 6". Wie schreibt man das? So: 0,16. Das ist anders ausgedrückt eine Null, ein Komma, eine 1 hinter dem Komma und dahinter nur noch ganz viele Sechsen, ja, unendlich viele Sechsen! Das ist periodisch. - Weil man diese Zahl auch als Bruch zweier ganzer Zahlen schreiben kann (nämlich 1/6), gehört sie zu den rationalen Zahlen. So, jetzt weißt Du, dass solche Zahlen periodisch sind.

Ein nächstes Beispiel für eine rationale Zahl: 1 durch 7. Im Taschenrechner kommt als Ergebnis etwa: 0,1428571 heraus. - Mathematisch richtig heißt das so: 0,142857. Ins Unendliche getrieben schreibt man: 0,142857 142857 142857 142857 usw. Sprich bitte: "Null Komma Periode eins vier zwei acht fünf sieben".

Ein vorletztes Beispiel für die rationalen Zahlen ist hier 1 durch 11. Im Taschenrechner eingegeben kommt etwa 0.09091 heraus. Das ist aber wieder ungenau. Man kann das nämlich ganz genau ausdrücken und schreiben: 0.09. "Null Komma Periode null neun".

Ein letztes Beispiel ist der schöne Dezimalbruch 0,083. Das ist 1/12. Wie muss man das sprechen? "Null Komma null acht Periode drei".

ℝ: die reellen Zahlen

Und es gibt noch viel mehr Zahlen. Die nächste Zahlenmenge heißt "Menge der reellen Zahlen". Das sind zuzüglich zu den schon genannten Zahlen solche, die nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen beschreibbar sind. Jetzt müssen wir auch noch einen weiteren Begriff einführen: die irrationalen Zahlen! Die irrationalen Zahlen liegen zwischen den rationalen Zahlen.

Mathematisch richtig ist nun: Die irrationalen Zahlen sind solche Zahlen, die unendlich viele Nachkommastellen haben und nicht periodisch sind. Zum Beispiel WURZEL(2) - so in Excel. Oder PI() - so auch in Excel; der griechische Buchstabe für PI ist: π. So schreibt man das in der Mathematik. π ist 3,1415926...... und immer weiter, und zwar unendlich lange ... - man kann PI nicht als Bruch ganzer Zahlen schreiben, weswegen PI nicht zu den rationalen, sondern zu den irrationalen Zahlen und zu den reellen Zahlen gehört. Für die Experten unter uns: PI ist irgendwie regelmäßig, aber eben nicht periodisch in dem obigen Sinn. - Auch die Wurzel aus 3 ist irrational und reell; so auch die Wurzel aus 10; usw.

Irrational sind diejenigen Zahlen, die reell, aber nicht rational sind.

Wer es jetzt so richtig wissenschaftlich haben möchte, sehe sich das bei Wikipedia an!

ℂ: die komplexen Zahlen

Das wollte ich eigentlich auslassen. Wenn Du noch Lust hast weiter zu forschen, bitte:

Die komplexen Zahlen sind noch eine Erweiterung dieser Zahlenmengen. Wir machen jetzt etwas Un-Mathematisches: Stell Dir vor, Du könntest Wurzel aus minus 1 aus­rechnen ... Schon sind wir bei den komplexen Zahlen. Oder besser und mathematisch richtig: Stell Dir vor, Du hast im Komplexen eine Zahl, die quadriert -1 ergibt. Das ist i.



Frage

Eine Frage für Euch: Ist die 1 (die Eins) Element der Menge (rationale Zahlen)? Wer weiß das zu beantworten?

Erst überlegen, dann: Weiter >>